بحث في الرياضيات عن المضلعات

كل ثلاث نقاط أو أكثر ليست على خط مستقيم تكوّن مستوى , و عندما تصل بينها بخطوط مستقيمة تكوّن مضلع , ‏والمضلعات نشاهدها كثيراً في حياتنا اليومية‎ .
فما هي أقسام المضلع ؟ و كيف نستطيع حساب مساحته ؟ ومحيطه ؟ وكيف نستطيع تسميته ؟‎  
أسئلةٌ واجهتني فلم أعرف لها جواباً لذا خطرت لي فكرة وهي أن أقدم بحثاً علمياً عن‎ /
‎" ‎المضلعات " لما في معرفة المضلعات من أهمية كبيرة ولأن كثير من الناس قد يجهل الكثير عنها ولأن الكثير من ‏الأمور التي قد نتعلمها في مقاعد الدراسة قد تنسى بعد الاختبارات النهائية‎ .
وسأقدم في هذا البحث مفهوم المضلع وكيفية حساب مساحته وحساب مساحة أقسامه وبعض القوانين الهامة في ‏المضلعات‎ .
‎
‎
‎* ‎المضلع: هو خط بسيط مغلق يتكون من اتحاد عدة قطع مستقيمة. وهو شكل هندسي يقع في المستوي‎.
ضلع المضلع :هي كل قطعة مستقيمة من محيط المضلع‎.
زوايا المضلع :هي الزوايا المحصورة بين أضلاع المضلع‎.
‎
‎* ‎أنواع المضلعات‎
‎
‎1- ‎المضلع المنتظم هو كل مضلع بسيط جميع أضلاعه متساوية في الطول وجميع زواياه متساوية في القياس. من ‏الممكن أن يكون المضلع المنتظم محدب أو نجمي‎.
‎2- ‎المضلع الغير منتظم : هو المضلع الذي لا تتساوى قياسات زواياه ولا أطوال أضلاعه‎
‎
‎* ‎خصائص عامة للمضلع المنتظم‎ :  
‎
هذه الخصائص تنطبق على المضلعات المحدبة والنجمية‎.
جميع رؤوس المضلع المنتظم تقع على محيط دائرة‎.
لكل مضلع منتظم دائرة محيطة به ودائرة محاطة داخله‎.
من الممكن إنشاء مضلع منتظم له‎ n ‎ضلع باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة فقط وفقط إذا كانت عوامل عدد ‏أضلاعه الفردية والأولية‎  
‎
‎
‎* ‎مساحة ومحيط المضلع المنتظم‎
‎
محيط المضلع المنتظم يساوي:طول الضلع × عدد الأضلاع‎.
مساحة المضلع المنتظم يساوي:1/2(طول المحيط × طول العامد‎).
‎
‎* ‎واسم المضلع يكون بحسب عدد أضلاعه‎
فالمضلع الذي يتكون من 3 قطع مستقيمة يسمى مثلث‎
والمضلع الذي يتكون من 4 قطع مستقيمة يسمى شكل رباعي‎
والمضلع الذي يتكون من 5 قطع مستقيمة يسمى شكل خماسي‎
والمضلع الذي يتكون من 6 قطع مستقيمة يسمى شكل سداسي‎
والمضلع الذي يتكون من 7 قطع مستقيمة يسمى شكل سباعي‎
والمضلع الذي يتكون من 8 قطع مستقيمة يسمى شكل ثماني‎
والمضلع الذي يتكون من 9 قطع مستقيمة يسمى شكل تساعي‎
والمضلع الذي يتكون من 10 قطع مستقيمة يسمى شكل ذي العشر أضلاع ، وهكذا‎ ....
‎
‎- ‎وسأضع نبذة عن بعض المضلعات‎ /
‎
أولاً: المضلع الثلاثي ( المثلث‎ )  
المثلث هو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة و هو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة ‏أضلاع، التي هي عبارة عن قطع مستقيمة‎
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي‎:
مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث أضلاعه متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمتها ‏‏60 درجة‎.
مثلث متساوي الضلعين: هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان ‏أيضا‎.
مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا‎.
‎
‎
‎
‎
‎
‎
‎* ‎كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث‎:
‎1- ‎مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول ‏أضلاع هذا المثلث‎
‎2- ‎مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة واصغر من 180 درجة(زاوية المنفرجه‎)
‎3- ‎مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة‎).
‎
‎
‎
‎
‎* ‎نظرية فيثاغورس‎  
واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على‎
أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر يساوي إلى مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين‎ (C‎‏ َ، ‏B‏ َ)، أي‏‎:
a^2+b^2=c^2  
مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كاف لمعرفة طول الضلع الثالث‎.
حساب مساحة المثلث‎
أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي‎
S=bh/2
‎
حيث‎ S ‎هي المساحة وbهي طول قاعدة المثلث وhهو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل أيّ ضلع من أضلاع ‏المثلث والارتفاع هو المستقيم الصادر من الرأس المقابل للضلع والعموديّ عليه‎.
‎
ثانياً : المضلع الرباعي‎
رباعيات الأضلاع أمّا بسيط (لا يتَقَاطُع ذاتيا) أَو مركّب (ذو تَقَاطُع ذاتي). رباعيات الأضلاع البسيطة أمّا محدب أَو ‏مقعّر‎.  
رباعيات الأضلاع المحدّبة يمكن تبويبها إلى أقسام أخرى كالتّالي‎:
‎1- ‎شبه المنحرف متساوي الساقين: هو شبه منحرف فيه الضلعان الغير متوازيان متساويان في الطول‎ .
‎2- ‎متوازي الأضلاع : هو شكل رباعي الأضلاع فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان‎ .
‎3- ‎المستطيل : هو رباعي أضلاع بحيث تكون زواياه الأربعة قائمة‎ .
‎4- ‎مُعيّن : هو شكل رباعي أضلاع به أضلاعه الأربعة ذات أطوال متساوية‎ .
‎5- ‎المربع : هو مضلع منتظم يتكون من أربعة أضلاع متساوية في الطول ومتعامدة تشكل أربع زوايا قائمة‎ .
‎
أ / شبه المنحرف متساوي الساقين‎:  
هو شبه منحرف فيه الضلعان الغير متوازيان متساويان في الطول. أو هو رباعي أضلاع يقطع فيه محزر التناظر ‏ضلعين متقابلين مما يجعله شبه منحرف‎.
‎* ‎خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين‎ :
يكون فيه ضلعين متقابلين متوازيين، والضلعين الآخرين متساويين في الطول‎.
يكون طول قطريه متساويين. *تكون زاويتا القاعدتين متطابقتين‎.
طول القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف تساوي نصف(مجموع ‏القاعتين المتوازيتين‎)
‎*‎مساحة شبه المنحرف المتساوي الساقين‎ :
‎
A=(h(b1+b2))/2
حيث‎ b1‎، وb2 ‎هي طول الضلعين المتوازيين، ‏h ‎طول ارتفاع شبه المنحرف‎.
‎
ب / متوازي الأضلاع‎ :  
هو شكل رباعي الأضلاع فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. حيث يكون فيه كل ضلعين متوازيين متساويين بالطول ‏وكل زاويتين متقابلتين متساويتين، وقطراه ينصفان بعضهما.ومجموع زواياه 360‏‎ .
‎* ‎خصائص متوازي الأضلاع‎ :
مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة المثلث المشكل بضلعين ووتر‎.
يكون كل قطر متوازي الأضلاع منصف للقطر الآخر‎.
كل ضلعين متقابلين متساويان‎.
كل زاويتين متقابلتين متساويتان‎.
‎* ‎مساحة متوازي الأضلاع‎ :  
A=B×H
حيث أن‎ B ‎هو طول القاعدة و‎ H ‎هو طول الارتفاع‎
‎
‎
‎
جـ / المستطيل‎ :
في الهندسة الرياضية هو شكل ثنائي الأبعاد، وهو رباعي أضلاع بحيث تكون زواياه الأربعة قائمة. ينبع من هذا أنّ ‏للمستطيل زوجين من الضلعين المتقابلين والمتساويين؛ أي أنّ المستطيل هو حالة خاصة من متوازي أضلاع تكون ‏جميع الزوايا به قائمة. كما ويعتبر المربع حالة خاصة من المستطيل تكون فيها أطوال الأضلاع الأربعة متساوية‎.
‎* ‎خصائص المستطيل‎ :
يطلق على الضلع الأطول في المستطيل اسم الطول، وعلى الضلع الأقصر اسم العرض‎ .  
في المستطيل تكون جميع الزوايا قائمة، وكل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين‎ .
أقطار المستطيل غير متعامدة ولا تنصف زواياه‎ .
‎* ‎مساحة المستطيل‎ :
A=a×b
حيث أن‎ a ‎هو الطول و‎ b ‎هو العرض‎
‎
د / المعين‎ :  
هو شكل رباعي أضلاع به أضلاعه الأربعة ذات أطوال متساوية.أو هو شكل رباعي مكون من مثلثين متساويي ‏الساقين, لهما قاعدة مشتركة, والقاعدة المشتركة محذوفة‎ .
‎* ‎خصائص المعين‎ :
المعين يتعامد قطراه ويتقاطعان في منتصفيهما‎ .
يطلق على المعين اسم شكل الألماس لأنه يشبه شكل حجرة الألماس‎.
‎* ‎مساحة المعين‎ :  
A=(b1+b2)/2  
حيث أن‎ d1 ‎هو القطر الأول و‎ d2 ‎هو القطر الثاني‎  
‎
‎
‎
هـ / المربع‎ :  
هو مضلع منتظم يتكون من أربعة أضلاع متساوية في الطول ومتعامدة تشكل أربع زوايا قائمة كما يمكن تشكيل ‏المربع عن طريق جمع مثلثين قائمي الزاوية ومتساويا الساقين عند الوتر‎.
علاقته مع الأشكال الأخرى‎
المربع هو مستطيل به كل ضلعان متجاوران متساويان أو هو معين زواياه قائمة‎.
أو هو متوازي أضلاع تساوى فيه ضلعين متجاورين وإحدى زواياه قائمة‎
أو هو معين تساوى قطراه أو هو مستطيل تعامد قطراه‎ .
‎* ‎خصائص المربع‎ :  
جميع أضلاعه متساوية‎ .
الأقطار متساوية، تنصف بعضها البعض‎ .
القطران متعامدان‎ .
جميع زواياه قائمة‎ .
‎* ‎مساحة المربع‎ :  
A=b×b
حيث أن‎ b ‎طول الضلع‎
‎
‎
‎
‎
‎
‎
المراجع‎ :  
ويكيبيديا، الموسوعة الحرة‎ ( ar.wikipedia.org )
جزيرة الرياضيات‎ ( www.hesab.net)
التعليم الإلكتروني لتطوير الرياضيات‎ ( aghandoura.com)
موقع مدرسة ابن القيم‎ ( www.ibn-alqaim.com )
‎
‎ 
الفهرس‎ ...
المواضيع الصفحة‎
المقدمة 2‏‎
المضلع 3‏‎
أنواع المضلعات 3‏‎
الخصائص العامة للمضلع المنتظم 3‏‎
نبذة عن بعض المضلعات‎ /  
أولاً : المضلع الثلاثي ( المثلث ) : 4‏‎
تصنيف المثلثات 4‏‎
نظرية فيثاغورس 5‏‎
مساحة المثلث 5‏‎
ثانياً : المضلع الرباعي 5‏‎
بعض من أقسام المضلع الرباعي‎ :  
شبه المنحرف متساوي الساقين 5‏‎
متوازي الأضلاع 6‏‎
المستطيل 7‏‎
المعين 7‏‎
المربع 8‏‎
المراجع 9‏